《莫頓期權(quán)定價(jià)模型》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、11.0第十一章布萊克-休爾斯-莫頓期權(quán)定價(jià)模型1973年，美國(guó)芝加哥大學(xué)教授FischerBlack&MyronScholes提出了著名的B-S定價(jià)模型，用于確定歐式股票期權(quán)價(jià)格，在學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界引起了強(qiáng)烈反響；同年，RobertC.Merton獨(dú)立地提出了一個(gè)更為一般化的模型。舒爾斯和默頓由此獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。在本章中，我們將循序漸進(jìn)，盡量深入淺出地介紹布萊克-舒爾斯-默頓期權(quán)定價(jià)模型（下文簡(jiǎn)稱B-S-M模型），并由此導(dǎo)出衍生證券定價(jià)的一般方法。1Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008布萊克-休爾斯

2、-莫頓期權(quán)定價(jià)模型基本思路11.1我們?yōu)榱私o股票期權(quán)定價(jià)，必須先了解股票本身的走勢(shì)。因?yàn)楣善逼跈?quán)是其標(biāo)的資產(chǎn)（即股票）的衍生工具，在已知執(zhí)行價(jià)格、期權(quán)有效期、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益的情況下，期權(quán)價(jià)格變化的唯一來(lái)源就是股票價(jià)格的變化，股票價(jià)格是影響期權(quán)價(jià)格的最根本因素。因此，要研究期權(quán)的價(jià)格，首先必須研究股票價(jià)格的變化規(guī)律。在了解了股票價(jià)格的規(guī)律后，我們?cè)噲D通過(guò)股票來(lái)復(fù)制期權(quán)，并以此為依據(jù)給期權(quán)定價(jià)。在下面幾節(jié)中我們會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述這種定價(jià)的思想。2Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008布朗運(yùn)動(dòng)11.2.1布朗運(yùn)動(dòng)

3、（BrownianMotion）起源于英國(guó)植物學(xué)家布郎對(duì)水杯中的花粉粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡的描述。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)兩大特征：特征1(正態(tài)分布)特征2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔，的值相互獨(dú)立。(獨(dú)立增量）3Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008維納過(guò)程的性質(zhì)[z(T)–z(0)]也是正態(tài)分布均值等于0方差等于T標(biāo)準(zhǔn)差等于方差可加性為何使用布朗運(yùn)動(dòng)？正態(tài)分布的使用：經(jīng)驗(yàn)事實(shí)證明，股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率近似地服從正態(tài)分布數(shù)學(xué)上可以證明，具備特征1和特征2的維納過(guò)程是一個(gè)馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程維納過(guò)程在數(shù)學(xué)上對(duì)時(shí)間處處不可導(dǎo)和二次變分（Qua

4、draticVariation）不為零的性質(zhì)，與股票收益率在時(shí)間上存在轉(zhuǎn)折尖點(diǎn)等性質(zhì)也是相符的Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,20085市場(chǎng)有效理論與隨機(jī)過(guò)程1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場(chǎng)假說(shuō)。該假說(shuō)認(rèn)為，證券價(jià)格對(duì)新的市場(chǎng)信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息。1、弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)2、半強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說(shuō)3、強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說(shuō)根據(jù)眾多學(xué)者的實(shí)證研究，發(fā)達(dá)國(guó)家的證券市場(chǎng)大體符合弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)。一般認(rèn)為，弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)與馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程（MarkovStochasticProcess）是內(nèi)在

5、一致的。因此我們可以用數(shù)學(xué)來(lái)刻畫(huà)股票的這種特征。有效市場(chǎng)三個(gè)層次6Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008布朗運(yùn)動(dòng)11.2.1標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的擴(kuò)展：普通布郎運(yùn)動(dòng)，令漂移率為a，方差率為b2，：or:x(t)=x0+at+bz(t)遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)的變量x是關(guān)于時(shí)間和dz的動(dòng)態(tài)過(guò)程：adt為確定項(xiàng)，意味著x的漂移率是每單位時(shí)間為a；bdz是隨機(jī)項(xiàng)，代表著對(duì)x的時(shí)間趨勢(shì)過(guò)程所添加的噪音，使變量x圍繞著確定趨勢(shì)上下隨機(jī)波動(dòng)，且這種噪音是由維納過(guò)程的b倍給出的。7Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2

6、008布朗運(yùn)動(dòng)11.2.1普通布朗運(yùn)動(dòng)的離差形式為，顯然，Δx也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為1、在任意時(shí)間長(zhǎng)度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為b2T。2、標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)為普通布朗運(yùn)動(dòng)的特例。8Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008伊藤過(guò)程與伊藤引理11.3普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，我們就可以得到這就是伊藤過(guò)程（ItoProcess）。其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方

7、差率為b2。9Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008伊藤過(guò)程與伊藤引理11.3在伊藤過(guò)程的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家伊藤（K.Ito）進(jìn)一步推導(dǎo)出：若變量x遵循伊藤過(guò)程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過(guò)程：其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。這就是著名的伊藤引理。10Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008泰勒展開(kāi)式忽略比Dt高階的項(xiàng)在常微分中，我們得到在隨機(jī)微分中我們得到：因?yàn)樽詈笠豁?xiàng)的階數(shù)為Dt將Dx代入e2Dt取極限伊藤引理的運(yùn)用如果我們知道x遵循的隨機(jī)過(guò)程，通過(guò)伊藤引理可以推導(dǎo)出G(x,t)遵循

8、的隨機(jī)過(guò)程。由于衍生產(chǎn)品價(jià)格是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和時(shí)間的函數(shù)，因此隨機(jī)過(guò)程在衍生產(chǎn)品分