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《初中數(shù)學(xué)證明題輔助線典型做法訓(xùn)練一》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練題?補(bǔ)形法的應(yīng)用班級________姓名__________分?jǐn)?shù)_______一些幾何題的證明或求解,由原圖形分析探究,有時顯得十分繁難,若通過適當(dāng)?shù)摹把a(bǔ)形”來進(jìn)行,即添置適當(dāng)?shù)妮o助線,將原圖形填補(bǔ)成一個完整的、特殊的、簡單的新圖形,則能使原問題的本質(zhì)得到充分的顯示,通過對新圖形的分析,使原問題順利獲解。這種方法,我們稱之為補(bǔ)形法,它能培養(yǎng)思維能力和解題技巧。我們學(xué)過的三角形、特殊四邊形、圓等都可以作為“補(bǔ)形”的對象?,F(xiàn)就常見的添補(bǔ)的圖形舉例如下,以供參考。一、補(bǔ)成三角形1.補(bǔ)成
2、三角形例1.如圖1,已知E為梯形ABCD的腰CD的中點;證明:△ABE的面積等于梯形ABCD面積的一半。分析:過一頂點和一腰中點作直線,交底的延長線于一點,構(gòu)造等面積的三角形。這也是梯形中常用的輔助線添法之一。略證:2.補(bǔ)成等腰三角形例2如圖2.已知∠A=90°,AB=AC,∠1=∠2,CE⊥BD,求證:BD=2CE分析:因為角是軸對稱圖形,角平分線是對稱軸,故根據(jù)對稱性作出輔助線,不難發(fā)現(xiàn)CF=2CE,再證BD=CF即可。略證:3.補(bǔ)成直角三角形圖3例3.如圖3,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠
3、B+∠C=90°,F(xiàn)、G分別是AD、BC的中點,若BC=18,AD=8,求FG的長。分析:從∠B、∠C互余,考慮將它們變?yōu)橹苯侨切蔚慕牵恃娱LBA、CD,要求FG,需求PF、PG。略解:第4頁共4頁4.補(bǔ)成等邊三角形例4.圖4,△ABC是等邊三角形,延長BC至D,延長BA至E,使AE=BD,連結(jié)CE、ED。證明:EC=ED分析:要證明EC=ED,通常要證∠ECD=∠EDC,但難以實現(xiàn)。這樣可采用補(bǔ)形法即延長BD到F,使BF=BE,連結(jié)EF。略證:二、補(bǔ)成特殊的四邊形1.補(bǔ)成平行四邊形例5.如圖5
4、,四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點,并且E、F、G、H不在同一條直線上,求證:EF和GH互相平分。分析:因為平行四邊形的對角線互相平分,故要證結(jié)論,需考慮四邊形GEHF是平行四邊形。略證:2.補(bǔ)成矩形例6.如圖6,四邊形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AB=200m,CD=100m,求AD、BC的長。圖6分析:矩形具有許多特殊的性質(zhì),巧妙地構(gòu)造矩形,可使問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形,于是一些四邊形中較難的計算題不難獲解。略解:第4頁共4頁3.補(bǔ)成菱形圖7例
5、7.如圖7,凸五邊形ABCDE中,∠A=∠B=120°,EA=AB=BC=2,CD=DE=4,求其面積分析:延長EA、CB交于P,根據(jù)題意易證四邊形PCDE為菱形。略解:4.補(bǔ)成正方形圖8例8.如圖8,在△ABC中,AD⊥BC于D,∠BAC=45°,BD=3,DC=2。求△ABC的面積。分析:本題要想從已知條件直接求出此三角形的面積確實有些困難,如果從題設(shè)∠BAC=45°,AD⊥BC出發(fā),可以捕捉到利用軸對稱性質(zhì)構(gòu)造一個正方形的信息,那么問題立即可以獲解。略解:5.補(bǔ)成梯形圖9例9.如圖9,已知:
6、G是△ABC中BC邊上的中線的中點,L是△ABC外的一條直線,自A、B、C、G向L作垂線,垂足分別為A1、B1、C1、G1。求證:GG1=(2AA1+BB1+CC1)。分析:本題從已知條件可知,中點多、垂線多特點,聯(lián)想到構(gòu)造直角梯形來加以解決比較恰當(dāng),故過D作DD1⊥L于D1,則DD1既是梯形BB1C1C的中位線,又是梯形DD1A1A的一條底邊,因而,可想到運用梯形中位線定理突破,使要證的結(jié)論明顯地顯示出來,從而使問題快速獲證。略證:第4頁共4頁三、練習(xí)1、在△ABC中,AC=BC,D是AC上一點
7、,且AE垂直BD的延長線于E,又AE=BD,求證:BE平分∠ABC。ABQCP2、如圖,已知:在△ABC內(nèi),∠BAC=60°,∠ACB=40°,P、Q分別在BC、CA上,并且AP、BQ分別是∠BAC、∠ABC的角平分線,求證:BQ+AQ=AB+BP3、已知:∠BAC=90°,AB=AC,AD=DC,AE⊥BD,求證:∠ADB=∠CDEABCDEABCPM4、設(shè)正三角形ABC的邊長為2,M是AB邊上的中點,P是BC邊上的任意一點,PA+PM的最大值和最小值分別記為S和,求:S-t的值。第4頁共4頁